马尔科夫链是一种数学模型，用于描述系统状态之间的随机转移过程。其核心特性是无记忆性，即未来状态的转移仅依赖于当前状态，与过去状态无关。这种模型在统计学、物理学、经济学、计算机科学等领域有广泛应用，尤其在随机过程建模、自然语言处理和优化等方面表现突出。

1. 基本概念

状态空间：马尔科夫链的所有可能状态的集合称为状态空间，通常记作S。

状态转移：在时刻t，系统处于状态i，下一时刻t+1转移到状态j的概率由转移概率矩阵P描述，其中P的元素表示从状态i转移到状态j的概率。

转移概率矩阵：转移概率矩阵P中的每个元素Pij表示从状态i转移到状态j的概率。该矩阵需满足一定的条件，例如所有行的和等于1，且所有元素非负。